Алексей Алексеевич Арцыбашев принадлежал к тому поколению русских военных, чья служба шла в период императора Николая I Павловича и императора Александра II Николаевича. 

Биографические сведения о нем, особенно касающиеся ранних лет, отрывочны. Точная дата и место его рождения, как и данные о его родителях и возможной семье (жене, детях), в доступных источниках не обнаружены.

Его военная карьера развивалась последовательно и в последовательном получении высоких офицерских чинов. 

Производство в генерал-майоры состоялось 26 ноября 1852 года, что было оформлено соответствующим Высочайшим приказом, подписанным императором Николаем I. На момент получения этого чина Арцыбашев уже занимал ответственную должность командира 1-й бригады 14-й пехотной дивизии, входившей в составе Отдельного Оренбургского корпуса. Служба Алексея Алексеевича Арцыбашева проходила на неспокойных границах Империи на юго-восточных рубежах империи. Следующим этапом его карьеры стало производство в генерал-лейтенанты, которое последовало 11 апреля 1861 года, уже в царствование императора Александра II. Данный чин соответствовал высокой должности начальника дивизии или равноценной ей. К сожалению, детали его послужного формуляра, включая дату вступления в службу, конкретные полки, в которых он служил или командовал, и участие в боевых кампаниях установить не удалось. Также, в доступных источниках не найдены конкретные сведения о его наградах и поощрениях.

Место смерти и захоронения Алексея Алексеевича Арцыбашева неизвестно.